¡¡A la de diez!!
Justo ahora ando escribiendo una unidad didáctica de probabilidad. Así que por todos lados veo problemas de probabilidad. Y van mis polluelos y les da por sacar el siguiente juego del armario. Tiene unas reglas son muy, muy sencillas:
- Juegan dos jugadores A y B.
- Cada uno lo hace con diez cartas numeradas del uno al diez: diez cartas para el jugador A, diez para el jugador B.
- Sacan sin mirar una carta cada uno. El que tenga la mayor carta se lleva la baza.
- Si sacan el mismo número, la baza se descarta.
- El que consiga más bazas al final de la partida, gana.
Aquí tenéis un ejemplo de un par de bazas que jugaron mis jóvenes padawanes:
El asunto es que jugaron 4 partidas y...en las cuatro quedaron 6-4 (unas veces a favor de uno y otras a favor de otro). Yo ya no he podido pensar en otra cosa en toda la tarde...encima ahora, que ando con las gafas de ver probabilidades por todas partes...
Tiene toda la pinta del mundo que el resultado más probable en este juego es 6-4, pero...¿hasta qué punto?
¿¿Cuántas partidas "distintas" se pueden dar en total??
¿¿¿Cómo se comporta la variable aleatoria "nº de bazas que gana el jugador A"???
Total, que me he pasado la tarde pensando en el problema. Para algunas de las preguntas ya tengo respuestas pero para las más complicadas...Por otro lado, se me han ocurrido numerosas simplificaciones del problema que se podrían llevar al aula en un contexto de resolución de problemas (ese denostado bloque transversal). O reduciendo el número de cartas de cada jugador a 3 o 4, en un contexto de cálculo de probabilidades.
Comenzamos con la pregunta más sencilla:
¿Son posibles todos los resultados (empate, ganar de 1, 2, 3...bazas de diferencia)?
En primer lugar, observa que cualquier reordenación de las bazas da lugar, básicamente, a la misma partida. Así que, en general, se puede prescindir del orden en el que se sacan las parejas de cartas.
Es posible generar una partida en la que se empate a cualquier número de bazas entre 0 y 5. Por ejemplo, el empate a cero resultaría de la partida 1-1, 2-2, 3-3....10-10, mientras que el empate a cinco se obtiene de la siguiente:
1-10
2-9
3-8
4-7
5-6
6-5
7-4
8-3
9-2
10-1
¿Serías capaz de describir partidas que diesen como resultado el resto de empates?
En el otro extremo...¿cuál es la máxima diferencia por la que puede ganar un jugador?. A poco que uno se pare a pensar, uno de los jugadores gana 9 bazas a 1, por ejemplo:
1-2
2-3
3-4
4-5
5-6
6-7
7-8
8-9
9-10
10-1
Es sencillo ver por qué el jugador que pierde va a ganar siempre al menos una baza, ¿verdad?
Pasemos a una pregunta un poco más complicada...
¿Cuántas partidas distintas se pueden encontrar del juego?
Cuando uno trabaja con estudiantes sobre la resolución de problemas aborda dos estrategias que suelen ser de gran ayuda:
- Reducir el tamaño del problema.
- Transformar el problema en otro equivalente pero de una naturaleza distinta.
Podríamos suponer que el número de cartas totales n=3,4... y estudiar cómo van creciendo los distintos parámetros del problema para llegar a generalizaciones. Pero en este caso se puede transformar el problema con el uso de matrices, fíjate:
Supongamos que las cartas de A representan las filas y las de B las columnas de una matriz nxn. Para simplificar el ejmplo usado, pongamos que n=4, luego se generaliza de forma sencilla. Tendríamos un tablero del siguiente tipo:
Cada una de las bazas se representa en este tablero mediante una casilla de la matriz 4x4. Si, por ejemplo el jugador B saca 2 y el A la carta 3, pues marcaríamos una cruz en la casilla 2, 3. Sencillo:
Pero fíjate que los jugadores "gastan" dos cartas: el B no puede volver a sacar la carta 2 ni el A la carta 3. ¿Cómo podemos representar entonces una partida entera? Pues con cuatro cruces que verifiquen:
- Las cuatro se sitúan en filas distintas (las cuatro cartas de B).
- Las cuatro se sitúan en columnas distintas (una por cada carta de A).
Por ejemplo, de los siguientes dos diagramas, uno no corresponde a una partida:
¿Sabrías identificar cuá?
¿Te suena este tipo de disposiciones de casillas en un cuadrado con una noción importante dentro de las matrices?
¡¡¡Claro que sí!!!,¡¡¡así se eligen a cada uno de los sumandos del determinante de una matriz 4x4 (sin signo)!!!
Ahora es muy fácil responder a la pregunta con la que empezábamos la sección: ¿Cuántas partidas distintas se pueden formar si cada jugador juega con 10 cartas? Tantas como sumandos distintos en el determinante de una matriz cuadrada de dimensión 10, que sabemos que es el número de permutaciones de 10 elementos, esto es 10!=3 628 800.
Por supuesto, habrá quien diga que bien podíamos haber llegado a esta conclusión analizando directamente el problema: como no nos importa el orden en el que salgan las parejas, solo las parejas en sí, podemos suponer que el jugador A las extrae en el orden natural 1, 2, 3...y así, el número total de partidas viene determinado por el número de posibles formas de ordenar las cartas del jugador B, es decir 10! Y no necesitamos andar con matrices...pero es que con las matrices tenemos una forma muy chula de representar las partidas y podemos resolver otras muchas cuestiones de una forma visual, por ejemplo:
¿Serías capaz de ver quién gana, quien pierde o si se produce empate en cada una de la siguiente partida "a ojo", es decir, sin andar pensando en la carta que ha sacado cada jugador?
Como ves, se trata de una partida de 6 cartas. ¿Qué representa la diagonal? ¿Qué ocurre si la cruz queda por debajo de ésta? ¿y por encima? ¿Cómo saber en un vistazo quién ha ganado la partida y por cuántas bazas?
Incluso podríamos ir más lejos en nuestra representación matricial: si colocamos en la matriz 1 en la diagonal, 2 por debajo de ésta y por encima, esto es:
Cada sumando del desarrollo del determinante representa una partida. Es muy fácil ver quién ha ganado en cada una de las partidas sin más que ver si el correspondiente sumando es mayor que 1 (gana B) menor que 1 (gana A) o igual a 1 (empate). ¿Sabrías decir por qué, verdad?
Variables aleatorias...
La pregunta original que motivó el estudio era...¿por qué narices las cuatro partidas han terminado con idéntico resultado: 6-4? Para poder establecer una verosimilitud en el problema habría que definir un variables aleatorias e intentar determinar el valor esperado. Sea
X = nº de bazas que gana el jugador A
Y=nº de bazas que gana el jugador B
Lo que nos planteábamos es...por qué el que gana casi siempre lo hace por una diferencia de dos bazas? Esto sería como plantearse el cálculo de la siguiente probabilidad:
P(|X-Y|=2)
y como el problema es totalmente simétrico, las distribuciones de probabilidad de X e Y también, P(X=k)=P(X=10-k), por lo que:
P(|X-Y|=2)=P(X=4)+P(X=6)=2P(X=6)
...y aplicaciones en el aula.
Si reducimos el número de cartas jugadas a 3 o 4 es posible realizar preguntas relativamente sencillas para que los alumnos trabajen cuestiones de probabilidad que están muy a su alcance:
- ¿Qué proporción de partidas acaban en empate?
- ¿Qué proporción de partidas acaba ganando cada jugador?
- Si sabemos que ha ganado el jugador A, qué probabilidad hay de que haya habido alguna baza con el resultado de empate?
- ...
Incluso podemos transformar la situación en el típico problema de estudiar la estrategia ganadora: supongamos que no jugamos sacando las cartas al azar, sino que cada jugador elige libremente las cartas que echa sobre la mesa y que lo hace por turnos: primero el jugador A y luego el B, para determinar quién gana la baza. ¿hay algún tipo de estrategia para que el jugador que comienza a sacar cartas en primer lugar minimice las pérdidas?
Y qué pasa si los jugadores eligen las cartas que echan pero las ponen sobre la mesa a la vez, sin saber la carta que sacará el rival?
En fin, hay muchísimos problemas en nuestro entorno que pueden enriquecer el estudio de la probabilidad en el aula. Si no para centrar el trabajo durante numerosas sesiones con ellos (el currículo en cursos superiores es inmenso e inabordable en su totalidad), sí para motivar a los alumnos a no quedarse en los típicos problemas de diagrama de árbol y urnas. Otro día hablaré de otros clásicos que me encantan, como la paradoja del cumpleaños, el problema del coleccionista de cupones, el del matrimonio o el de las malas compañías. Pero eso será otro día...
Con esta entrada participo en el Carnaval de Matemáticas, que en esta octogésima novena edición, también llamada 11.3, está organizado por Fran Martínez Seoane a través de su blog Astronautas y Robots vs Coronavirus.
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