Llevaba un tiempo con ganas de montar una actividad en clase con el experimento de las urnas de Pólya... y este año la situación extraña de teledocencia me ha procurado la excusa perfecta para ello. Pero antes de centrarnos en el fascinante problema diseñado por George Pólya, dejadme que os cuente un poco dónde se sitúa esta actividad dentro de la unidad didáctica de probabilidad que acabo de terminar con mis dos grupos de 2º de Bachillerato:
Hacia un REA de probabilidad para Matemáticas II
Desde hace un año y medio vengo generando materiales con licencia CC con la idea de cubrir los contenidos de la asignatura de Matemáticas II. Y la necesidad actual ha acelerado la confección de dichos videos, así que hay un tema del que ya cuento con materiales como para construir toda una Unidad Didáctica con formato REA: Probabilidad
Videos que desarrollan los contenidos teóricos
Algunos de ellos son de los que más orgulloso me siento (incluso uno de ellos llegó a salir en la programación de La 2 de RTVE en la programación especial de este dichoso confinamiento!)
¿Qué tal has entendido los anteriores videos?
Lo habitual es pedir a los alumnos que hagan resúmenes de los anteriores videos. De cara a evaluar el grado de comprensión de estos contenidos había diseñado algunas cuestiones en la plataforma Edpuzzle. Para librarme de la dependencia de este tipo de soluciones privativas he pasado dichos cuestionarios a Moodle. La idea es volcar dichos cuestionarios en el REA a un formato SCORM, pero mientras tanto, aquí os podéis descargar dichos cuestionarios, listos para importar a Moodle (hay un total de 30 preguntas, clasificadas en 6 categorías, una por video).
Practica los contenidos del tema
Normalmente la práctica de los contenidos del tema se hacía en clase, pero este año, con el confinamiento...no quedó otra que preparar videos con problemas para que ellos practicaran. Utilicé el recurso de moodle Foro tipo Pregunta-Respuesta. Si quieres saber cómo configurar este tipo de actividades puedes verte este video-tutorial que preparé para mis compis de instituto.
La idea era dejar tandas de 4 problemas a los alumnos, que los resolvieran y que subieran las soluciones a un foro PR de moodle. La ventaja de estos foros es que los alumnos no pueden ver las respuestas de sus compañeros hasta que ellos no han subido la suya (vale, ya sé que todos tienen grupos de Whatsapp o similares en los que comparten soluciones...no nos vamos a engañar). Después el profesor puede evaluar las aportaciones de los alumnos y éstos pueden realizar comentarios a las de sus compañeros. En total los alumnos resolvieron 15 problemas (en cuatro tandas: 4-4-4-3) y luego yo fui colgando en el aula virtual los 15 videos con las soluciones.
Aquí tenéis el listado de los 15 problemas que resolvimos junto con los videos de sus soluciones:
Enunciados
Videos 1-4 Espacio muestral y Álgebra de sucesos
Videos 5-8: Axiomas de la probabilidad - Laplace
Videos 9-12: Probabilidad condicionada e independecia de sucesos
Videos 13-15: Teorema de la probabilidad total y de Bayes
Normalmente me gusta acabar cada tema con una actividad tipo peer-instruction: consiste en la resolución de cuestiones de manera individual (primero) y discutiendo la respuesta con el compañero (después) de una forma monitorizada por el profesor, quien luego abre un turno de reflexión/debate. Las preguntas que suelen incluirse en este tipo de actividades son tales que preguntas que requieran aplicar y analizar lo aprendido y no sólo recordar o comprender los contenidos de la unidad. Esto lo suelo llevar a cabo en el aula con Plickers (pues no se permite el uso del movil en nuestro centro).
Sin embargo este año ha sido del todo imposible realizar la actividad por el confinamiento, así que el experimento de Pólya me vino como anillo al dedo. Ahora sí, vamos al lío:
El experimento de las urnas de Pólya
Me parecía que una buena manera de terminar la unidad era proponer a mis alumnos que se gravasen un video en el que explicaran la resolución de un problema. Y ese problema debía tener dos características:
- Que se centrase en algunos de los aspectos centrales del bloque de Probabilidad (y que más entran en EVAU): el teorema de la probabilidad total y el de Bayes
- Que me permitiesen plantear unas cuestiones que fuesen un poco más allá, para determinar hasta que punto son capaces de cuestionarse los resultados de un experimento aleatorio aparentemente "sencillo".
Y como veréis el experimento de las urnas de Pólya permite ambas cuestiones. Tiene un planteamiento muy simple, pero permite llegar muy muy lejos en la teoría de probabilidad (muchísimo más lejos de lo que se ve en 2º de BACH, por supuesto). El problema es el siguiente:
En resumen: en cada una de las dos urnas comenzamos con dos bolas, una roja y una azul. Por turnos sacamos una bola y la devolvemos junto con otra del mismo color (primera urna) u otra de distinto color (segunda urna).
Y aquí el enunciado con la propuesta de actividad que hice a los alumnos:
La idea de contar con n bolas azules y k bolas rojas, siendo n y k dígitos del DNI de cada alumno es una idea que tomé de un examen de @fiquipedia y me permitía que cada alumno hiciera un problema distinto (aunque en el fondo el mismo).
Los resultados...pues hay de todo. Aunque algunos de los alumnos me sorpredieron con muy buenas entregas. El handicap de los 2 minutos pesó mucho (qué difícil es sintetizar!!!). En la siguiente lista de reproducción podéis ver alguno de ellos:
Pero lo REALMENTE CHULO del experimento de las urnas de Pólya es analizar qué ocurre a largo plazo. Para ello mi compi del año pasado, Jesús Gallinal (que fue quien me descubrió el problema), ha programado una simulación del experimento que podéis ver en el siguiente enlace:
SIMULACIÓN DEL EXPERIMENTO DE PÓLYA
Y lo que ocurre a largo plazo con las dos urnas es lo siguiente:
Urna 2 (en la que cada bola se devuelve junto con otra de distinto color)
Observa que la regla del experimento tiende a "compensar" el número de bolas, de forma que si hay muchas de un color, se añadirá con mayor probabilidad una bola del otro color. A largo plazo el porcentaje de bolas de cada color tiende al 50%.
Pero con la otra urna pasa algo alucinante:
Urna 1 (en la que cada bola se devuelve junto con otra del mismo color)
Como se ve en el gif...El porcentaje de bolas de cada color no tiende a estabilizarse en torno a un valor. En función de los "primeros resultados" del experimento, la tendencia es una u otra totalmente distinta!
Generalizaciones del experimento de Pólya
Este experimento se puede generalizar de una manera sencilla con las siguientes reglas:
- Partimos de n bolas rojas y k azules
- A cada extracción devolvemos la bola junto con r bolas del color contrario.
Donde r puede ser positivo...o negativo (incluso puede ser 0). De hecho...
- Si r=0 estamos ante unas extracciones con reposición, de las de toda la vida.
- Si r=-1 por contra realizamos extracciones sin reemplazamiento.
Podemos denotar por Xi a la variable aleatoria que toma el valor 0 (1) si la bola de la i-ésima extracción es roja (azul), así que nos interesaría determinar la distribución conjunta de la serie
Fascinante problema, ¿no creeis?
En fin, si os pica la curiosidad, tenéis un estudio completo del problema en el siguiente enlace. Por cierto, desde esa página se accede a un montón de problemas super super chulos de probabilidad, por si os habéis quedado con hambre.
Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta octogésima octava edición, también denominada 11.2, está organizado por Rafael Martínez González a través de su blog El mundo de Rafalillo.
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