La curva copo de nieve se puede definir de manera recursiva a partir de un triángulo equilátero, tal y como se muestra en la siguiente construcción, obra de Manuel Sada. 

Denotemos por $a_1$, $a_2$, $a_3$... al perímetro de cada figura. Supongamos que el perímetro del primer triángulo vale 1 (esto es, $a_1=1$).

1. Describe cómo se construye a partir de un paso del copo de nieve el siguiente.
2. Calcula el valor de $a_2$ y de $a_3$.
3. ¿Cuál es la sucesión de los perímetros de las figuras obtenidas si reiteramos el proceso indefinidamente?
4. ¿Cuál es el límite de esta sucesión?
5. ¿Cuánto vale el perímetro de la curva copo de nieve?
6. Compara esta situación con lo que ocurría en la actividad "Calculando cifras decimales de Pi".

Considera ahora la construcción recurrente dada por las siguientes figuras:

Como ves, hemos partido de un cuadrado de lado 1, que es como un mantel de picnic. Y sobre sus cuatro lados, se han bordado una serie de semicírculos. En cada paso bordamos el doble de semicircunferencias, pero de radio la mitad.

Si continuásemos de forma indefinida obtendríamos un mantel de picnic con unos ribetes formados por infinitas semicircunferencias. Llamemos a esta figura "el mantel con un bordado interminable". En esta construcción puedes hacerte una idea de su aspecto después de unas cuantas iteraciones:

Denotemos a la sucesión de perímetros por $\{b_n\}=\{b_1,b_2,b_3,\ldots\}$.

1. Calcula el valor de los tres primeros términos de esta sucesión.
2. ¿Cuál es el límite de esta sucesión?
3. ¿Cuánto vale el perímetro del mantel con un bordado interminable?
4. Compara estos resultados con la actividad del copo de nieve. ¿Encuentras algo sorprendente?