Las sucesiones aparecen de forma natural en construcciones recursivas. Y en muchas ocasiones la intuición falla. A continuación pueden verse dos curvas que se obtienen como resultado de una construcción recurrente.
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Las sucesiones aparecen de forma natural en construcciones recursivas. Y en muchas ocasiones la intuición falla. A continuación pueden verse dos curvas que se obtienen como resultado de una construcción recurrente.
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La curva copo de nieve se puede definir de manera recursiva a partir de un triángulo equilátero, tal y como se muestra en la siguiente construcción, obra de Manuel Sada.
Denotemos por $a_1$, $a_2$, $a_3$... al perímetro de cada figura. Supongamos que el perímetro del primer triángulo vale 1 (esto es, $a_1=1$).
Considera ahora la construcción recurrente dada por las siguientes figuras:
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Como ves, hemos partido de un cuadrado de lado 1, que es como un mantel de picnic. Y sobre sus cuatro lados, se han bordado una serie de semicírculos. En cada paso bordamos el doble de semicircunferencias, pero de radio la mitad.
Si continuásemos de forma indefinida obtendríamos un mantel de picnic con unos ribetes formados por infinitas semicircunferencias. Llamemos a esta figura "el mantel con un bordado interminable". En esta construcción puedes hacerte una idea de su aspecto después de unas cuantas iteraciones:
Denotemos a la sucesión de perímetros por $\{b_n\}=\{b_1,b_2,b_3,\ldots\}$.
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