Vamos a intentar formalizar todo lo anterior, para lograr dar una definición formal de cuándo una sucesión tiene límite cero.
Supón que tenemos una sucesión $a_n$ que tiene por límite $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=+\infty$. Vamos a considerar la sucesión de sus inversos $b_n=\frac{1}{a_n}$. ¿Qué relación hay entre los valores-frontera de $a_n$ y $b_n$?
Si $a_n\rightarrow+\infty$...
Si $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=+\infty$, para cualquier valor-frontera $k$, por grande que sea, habrá un cierto término $a_p$ a partir del cuál todos los siguientes términos de la sucesión superan el valor $k$, esto es, $a_n>k$ a partir del término $a_p$:
Si $b_n=\frac{1}{a_n}\rightarrow +\infty$...
Observa que $a_n>k \Longleftrightarrow \frac{1}{a_n}<\frac{1}{k}$. Llamando $\frac{1}{k}=r$, podemos asegurar que la sucesión de los inversos $b_n$ de $a_n$ tiene la propiedad de que para cualquier valor positivo $r$, por pequeño que sea, a partir de un cierto $b_p$ todos los términos de la sucesión son menores que $r$, esto es
$0<b_n<r$ para todos los términos de la sucesión a partir de un cierto $b_p$:
Llamaremos a $r$ valor de micro-frontera, pues $r$ puede tomar cualquier valor positivo, tan pequeño como nosotros queramos.