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Formalizando

Vamos a intentar formalizar todo lo anterior, para lograr dar una definición formal de cuándo una sucesión tiene límite cero.

Supón que tenemos una sucesión $a_n$ que tiene por límite $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=+\infty$. Vamos a considerar la sucesión de sus inversos $b_n=\frac{1}{a_n}$. ¿Qué relación hay entre los valores-frontera de $a_n$ y $b_n$?

Si $a_n\rightarrow+\infty$...

Si $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=+\infty$, para cualquier valor-frontera $k$, por grande que sea, habrá un cierto término $a_p$ a partir del cuál todos los siguientes términos de la sucesión superan el valor $k$, esto es, $a_n>k$ a partir del término $a_p$:

Valor-frontera

Si $b_n=\frac{1}{a_n}\rightarrow +\infty$...

 Observa que $a_n>k \Longleftrightarrow \frac{1}{a_n}<\frac{1}{k}$. Llamando $\frac{1}{k}=r$, podemos asegurar que la sucesión de los inversos $b_n$ de $a_n$ tiene la propiedad de que para cualquier valor positivo $r$, por pequeño que sea, a partir de un cierto $b_p$ todos los términos de la sucesión son menores que $r$, esto es

$0<b_n<r$ para todos los términos de la sucesión a partir de un cierto $b_p$:

Sucesión de límite cero

Llamaremos a $r$ valor de micro-frontera, pues $r$ puede tomar cualquier valor positivo, tan pequeño como nosotros queramos.

Definición

Una sucesión $b_n$ de términos positivos tiene límite cero si para cualquier micro-frontera $r>0$, a partir de un cierto término $b_p$, todos los demás términos de la sucesión son más pequeños que $r$. Esto es, si se verifica que:

$0<b_n<r$ siempre que $n\geq p$.

En definitiva, una sucesión de términos positivos $b_n$ tiende a cero si podemos conseguir términos de la sucesión tan pequeños como queramos. No hay más que avanzar lo suficiente en la sucesión.

Dime cuánto te quieres aproximar a cero y te diré qué término ($n$) de la sucesión necesitas.

 

Ahora nos toca practica esta definición:

Practicando la definición de límite cero

Observa las tres sucesiones siguientes:

  • $a_n=\frac{1}{n}$
  • $b_n=\frac{1}{n^2}$
  • $c_n=\left(\frac{1}{2}\right)^n$

Se pide:

  1. Dado una micro-frontera $r=\frac{1}{100}$, ¿a partir de qué términos de cada sucesión todos los demás son más pequeños que $r$?
  2. Idem para $r=0.00001$
  3. ¿Habrá siempre un término a partir del cuál todos los demás términos de cada sucesión son más pequeños que $r$, por pequeña que sea la micro-frontera $r>0$? ¿Qué hay que hacer para encontrar esos términos en cada sucesión?

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