Sucesiones de términos positivos con límite cero

–¡Qué sensación más extraña! –dijo Alicia–. Me debo estar encogiendo como un telescopio.

Y así era, en efecto: ahora medía solo veinticinco centímetros, ...
Lewis Carrol

La sucesión inversa de una con límite infinito

La sucesión $a_n=n^2$ tiene límite $+\infty$. Esto significa, como recordarás, que a medida que $n$ crece, $n^2$ se hace más y más grande, de modo que puede llegar a superar cualquier valor-frontera que nosotros hubiéramos prefijado con anterioridad.

¿Qué le ocurrirá a la sucesión $b_n=\frac{1}{a_n}=\frac{1}{n^2}$?
Encuentra los diez primeros términos de las dos sucesiones $a_n=n^2$ y $b_n=\frac{1}{n^2}$.
Calcula también los términos $a_{100},a_{1000},b_{100}$ y $b_{1000}$.
¿Cuál crees que es el límite de la sucesión $b_n$?

De la anterior actividad deducimos lo siguiente:

Si una sucesión de términos positivos $a_n$ tiene límite $+\infty$, la sucesión de sus inversos $b_n=\frac{1}{a_n}$ tiene límite cero.

Unos límites de entrenamiento

¿Cuáles de los siguientes sucesiones tienen límite cero? ¿Por qué?

$a_n=\frac{1}{n}$
$b_n=\frac{1}{n^2+1}$
$c_n=\left(\frac{1}{8}\right)^n$
$d_n=2^{-n}$
$e_n=1.01^n$
$f_n=0.99^n$
$g_n=1+\frac{1}{3n}$
$h_n=\frac{2n+3}{3n}$

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