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Una cola, por favor

Ardilla comiendoSe puede dar una definición alternativa de cuándo una sucesión tiene límite cero. Para ello necesitamos introducir la noción de cola de una sucesión.

Dada una sucesión de término general $a_n$ los siguientes son ejemplos de colas de $a_1,a_2,a_3,\ldots$:

  • $a_2,a_3,a_4,\ldots$
  • $a_{26},a_{27},a_{28},\ldots$
  • $a_{1005},a_{1006},a_{1007},\ldots$

Definición de cola

Escribe una definición formal de cola de una sucesión.

Definición

Una sucesión $a_n$ tiene límite cero si cualquier entorno centrado en el cero contiene a una cola de la sucesión.

Una sucesión $a_n$ tiene límite cero si cualquier entorno centrado en el cero contiene a todos los términos de la sucesión salvo un número finito de ellos.

Tarea

Dadas las siguientes sucesiones:

$a_n=\frac{(-1)^n}{2n}\quad b_n=\frac{n^3+11}{2n^4}\quad c_n=\frac{1}{3^n}$

  1. Encuentra el límite de cada sucesión
  2. Para cada una, encuentra el término a partir del cuál, todos los siguientes están en un entorno centrado en el 0 y de radio $r=0.01$
  3. Para cada una, determinar cuántos términos están fuera de un entorno centrado en el 0 y de radio $r=0.05$.

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