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Sucesiones con límite infinito

–¿Podrías decirme, por favor, qué camino debo seguir para salir de aquí?

–Eso depende en gran parte del sitio al que quieras llegar –dijo el Gato.

–No me importa mucho el sitio...–dijo Alicia.

–Entonces tampoco importa mucho el camino que tomes –dijo el Gato.

–...siempre que llegue a alguna parte –añadió Alicia como explicación.

–¡Oh, siempre llegarás a alguna parte –aseguró el Gato-, si caminas lo suficiente!

Lewis Carrol

Dos sucesiones muy distintas

Duración:
20 minutos
Agrupamiento:
grupos de 4 o 5 alumnos

Observa las dos sucesiones siguientes:

  1. $\{a_n\}=\left\lbrace\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}\ldots\right\rbrace$.
  2. $b_n=4n$

Contesta a las siguientes preguntas:

  1. Encuentra el término general $a_n$ de la sucesión A.
  2. Dibuja en dos gráficas diferentes los quince primeros términos de cada sucesión. Debes colocar la $n$ en el eje de abscisas y los valores de la sucesión en el de ordenadas. También debes elegir una escala adecuada para que la gráfica se vea convenientemente.  Describe todo lo que puedas observar del comportamiento de estas dos sucesiones a partir de su representación gráfica.
  3. ¿Es cierto que en las dos sucesiones cada término es mayor que el anterior? ¿Se cumple esto para cualquier término? ¿Cómo podemos estar seguros?
  4. ¿Dirías que estas sucesiones tienen límite?
  5. ¿Qué diferencia crees que existe entre una sucesión y otra?

La sucesión $b_n=4n$ del problema anterior verifica una propiedad que la sucesión $\{a_n\}$ no cumple: 

Siempre es posible encontrar un término a partir del cuál todos los términos de la sucesión son más grandes que cualquier valor-frontera que nosotros fijemos.

 Es decir, fijado un valor-frontera, más pronto o más tarde todos los términos de la sucesión acabarán superándolo.

En los próximos apartados vamos a practicar esta idea del valor-frontera con dos ejemplos.

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