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Un sandwich, por favor

En la siguiente imagen puedes ver la sucesión $a_n=\frac{1}{n}$. Como sabes, $\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=0$, pues los términos $\frac{1}{n}$ podemos "hacerlos tan cercanos a cero como queramos".

Sucesión 1/n

Consideremos una segunda sucesión de términos positivos: $b_n=\frac{1}{n+2}$. Como sabes, $0<\frac{1}{n+2}<\frac{1}{n}$ para cualquier natural $n\in \mathbb{N}$.

b_n=1/(n+2)

  • ¿Qué podemos decir del valor del límite $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n+2}$?

Criterio de Comparación

Si $a_n$  $b_n$ son dos sucesiones de términos positivos de manera que siempre se verifique que $b_n<a_n$ y además $\lim_{n\rightarrow \infty} a_n= 0$, entonces, necesariamente

$\lim_{n\rightarrow \infty} b_n= 0$

Este criterio, conocido a veces como regla del sandwich, es muy útil en la práctica.

SandwichVamos a aplicar la regla del sandwich en algunos casos prácticos.

Practica la regla del Sandwich

  1. Recuerda la definición de límite cero y justifica a partir de ella por qué la regla del sandwich funciona.
  2. ¿Por qué se exige que las sucesiones $a_n,b_n$ sean de términos positivos para que el criterio de comparación funcione?
  3. Compara las siguientes sucesiones con $a_n=\frac{1}{n}$ para determinar cuáles de ellas tienen límite cero:
    1. $\frac{1}{n+10}$
    2. $\frac{3}{3n+10}$
    3. $\frac{1}{n^2}$
    4. $\frac{1}{n^2+2n+11}$
    5. $\frac{n}{n^2+21}$
  4. Determina si las siguientes sucesiones tienen límite cero:
    1. $1,\frac{1}{2},1,\frac{1}{3},1,\frac{1}{4},\ldots$
    2. $0,\frac{1}{2},0,\frac{1}{3},0,\frac{1}{4},\ldots$
  5. Se puede proponer un criterio de comparación parecido, pero para demostrar que una sucesión $b_n$ tiene límite $+\infty$. ¿Serías capaz de escribir ese criterio?

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