Para calcula el límite $a_n=\frac{2n^2+3n+1}{5n^2+1}$, podemos realizar la siguiente manipulación:

$a_n=\frac{2n^2+3n+1}{5n^2+1}=\frac{2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}{5+\frac{1}{n^2}}$

• ¿Cómo hemos realizado dicha transformación?

Podemos deducir por tanto que

$\lim a_n=\frac{2}{5}$

• Justifica este hecho. Puedes usar que $\lim \frac{1}{n}=0$, $\lim \frac{1}{n^2}=0$ y el criterio de comparación.

Calcula ahora utilizando esta estrategia los límites siguientes:

1. $\lim (n^3+2n^2+1)\frac{1}{3n^2-2}$
2. $\lim \frac{(n+1)^2 }{3n^2-7n+1}$
3. $\lim \frac{n^3 }{2n^2+7n+1}$
4. $\lim \frac{-2n^2}{3n^2-7n+1}$

Parece lógico que el valor del límite $\lim \sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ valga 0, pues a medida que $n$ crece, $\sqrt{n+1}$ y $\sqrt{n}$ toman valores muy parecidos. Si queremos demostrar que este límite es cero, podemos utilizar una estrategia muy común cuando se trabaja con diferencias de raíces: multiplicar por el conjugado:

$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{\left( \sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left( \sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{ \sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{n+1-n}{ \sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$

Y ahora podemos aplicar el criterio de comparación.

1. Completa los detalles que faltan en este cálculo
2. Aplica esta estrategia para determinar el valor de los siguientes dos límites:
   1. $\lim \sqrt{2n+1}-\sqrt{n}$
   2. $\lim \sqrt{n}-\sqrt{n-1}$