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Sucesiones monótonas

Definición: sucesión monótona creciente

Una sucesión $a_n$ es monótona creciente si cada término es mayor o igual que el anterior, es decir, si 

$a_{n+1}\geq a_n$, para cada $n\in\mathbb{N}$

Tarea

Duración:
10 minutos
Agrupamiento:
grupos de 4 o 5 alumnos

Muestra que las sucesiones siguientes son monótonas crecientes:

  1. $a_n=4n+11$
  2. $b_n=\frac{n-1}{n}$

Hay varias formas de demostrar formalmente que una sucesión es monótona creciente. Dos de ellas son bastante habituales:

Criterio de la diferencia

Duración:
10 minutos
Agrupamiento:
grupos de 4 o 5 alumnos

Supón que la sucesión $a_n$ es monótona creciente. 

  1. ¿Cuánto vale la diferencia entre dos términos consecutivos $a_{n+1}-a_n$?

Este hecho puede utilizarse para demostrar que una sucesión es monótona creciente y se le conoce como criterio de la diferencia:

Una sucesión $a_n$ es monótona creciente si $a_{n+1}-a_n\geq 0$ para cada $n\in\mathbb{N}$.

  1.  Demuestra usando este criterio que las sucesiones del anterior ejercicio $a_n=4n+11$ y $b_n=\frac{n+1}{n}$ son monótonas crecientes.

Criterio del cociente

Duración:
15 minutos
Agrupamiento:
grupos de 4 o 5 alumnos

Supón que la sucesión $a_n$ es monótona creciente con todos sus términos positivos. 

  1. ¿Cuánto vale la razón (cociente) de dos términos consecutivos $\frac{a_{n+1}}{a_n}$?

Este hecho puede utilizarse para demostrar que una sucesión es monótona creciente y se le conoce como criterio del cociente:

Una sucesión $a_n$ es monótona creciente si $\frac{a_{n+1}}{a_n}\geq 1$ para cada $n\in\mathbb{N}$.

  1.  Demuestra usando este criterio que las sucesiones del primer ejercicio, $a_n=4n+11$ y $b_n=\frac{n+1}{n}$, son monótonas crecientes.
  2. ¿Por qué es necesario exigir que la sucesión $a_n$ tenga todos sus términos positivos para poder utilizar el criterio del cociente? Busca una sucesión de términos no positivos que verifique la desigualdad $\frac{a_{n+1}}{a_n}\geq 1$ para cada $n\in\mathbb{N}$ pero que no sea monótona creciente.

Definición: Sucesión monótona decreciente

Duración:
5 minutos
Agrupamiento:
grupos de 4 o 5 alumnos

Propón una definición para sucesión monótona decreciente.

¿Crecientes o decrecientes?

Duración:
20 minutos
Agrupamiento:
grupos de 4 o 5 alumnos

Ahora ya conoces varias estrategias para decidir y demostrar que una sucesión es monótona (creciente o decreciente). Te proponemos a continuación un par de actividades para que las ejercites.

  1. Demostrar que las progresiones aritméticas y las progresiones geométricas de razón positiva son sucesiones monótonas. ¿De qué depende el hecho de que sean crecientes o decrecientes?
  2. Demuestra que la sucesión $a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ es una sucesión mónotona. ¿Es creciente o decreciente? Indicación: puedes utilizar el hecho de que 

$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$

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