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Sucesiones acotadas

Recuerda las sucesiones representadas en la introducción de esta sección: $a_n=4n$ y $\{b_n\}_{n\in\mathbb{N}}=\left\lbrace \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4},\ldots\right\rbrace$.

Estas dos sucesiones son monótonas crecientes.

  • ¿Una sucesión monótona creciente tiene límite?

Como puedes ver, no. Mientras que la sucesión $a_n=4n$ es divergente (supera cualquier valor-frontera $K$ que puedas fijar), la sucesión $b_n$ le pasa justo todo lo contrario. Si tomamos, por ejemplo, $K=2$, ningún término de la sucesión $b_n$ lo supera. De hecho $b_n\rightarrow 1$.

Gráfica de la sucesión 4n
Gráfica de la sucesión $a_n=4n$.
Gráfica de la sucesión n/n+1
Gráfica de la sucesión $b_n=\frac{n}{n+1}$.

Definición: sucesión superiormente acotada

Decimos que una sucesión $a_n$ está superiormente acotada si es posible encontrar un número $K$, denominado cota superior, de tal forma que $a_n\leq K$ para cualquier $n\in\mathbb{N}$.

¿Podrías encontrar otras cotas superiores de la sucesión

$\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\ldots$?

¿Cuál crees que es la menor de todas las cotas superiores?

Definición: sucesión acotada inferiormente

Duración:
5 minutos
Agrupamiento:
grupos de 4 o 5 alumnos

Propón una definición de sucesión acotada inferiormente.

¿¿Una sucesión no monótona pero acotada??

Duración:
5 minutos
Agrupamiento:
grupos de 4 o 5 alumnos

Considera la sucesión 

$a_n=(-1)^n\frac{1}{n}$.

  • ¿Es monótona creciente?
  • ¿Está acotada superiormente?
  • ¿Cuál es la cota superior más pequeña?
  • ¿Es monótona decreciente?
  • ¿Está acotada inferiormente?
  • ¿Cuál es la cota inferior más grande?

Para completar esta sección, necesitas profundizar en la relación entre las tres nociones fundamentales que conoces ya de una sucesión: si esta tiene límite, si está acotada y si es monótona. Te proponemos para ello:

Algunas cuestiones prácticas

Duración:
20 minutos
  1. Describe la representación gráfica de una sucesión
    1. acotada superiormente
    2. acotada inferiormente
    3. acotada.
  2. Estudia si las sucesiones indicadas a continuación son sucesiones acotadas superior o inferiormente
    1. $a_n=\frac{1}{n}$
    2. $b_n=\frac{n-1}{n}$
    3. $c_n=-3n+7$
    4. $d_n=2n^2-38765$
    5. $e_n=(-1)^nn$
    6. $f_n=1+\frac{4}{\sqrt{n}}$.
  3. Como has visto, una sucesión puede ser monótona, convergente o acotada. Analiza estas tres propiedades de cada una de las sucesiones siguientes. Para ello, puedes echar mano del comodín de GeoGebra.
    Analiza la monotonía, acotación y convergencia de estas sucesiones
    Término general Acotada Monótona Límite
    $a_n=27-\frac{1}{n}$
    $b_n=\frac{n^2-1}{n}$
    $c_n=(-n)^n$
    $d_n=\frac{2-n^2}{n}$
    $e_n=2-\frac{1}{2^n}$
    $f_n=(-1)^n\left(1-\frac{1}{n}\right)$
    $g_n=\frac{2n^2+1}{n^2}$
    $h_n=\frac{1-n}{n}$
    $i_n=\frac{n^2-4n+1}{n^3-2}$

Algunas cuestiones teóricas

  1. Demostrar que si una sucesión está acotada (inferior y superiormente) entonces existe un $K$ tal que $|a_n|\geq K$. ¿Qué significa gráficamente este hecho?
  2. Demostrar que si una sucesión es monótona creciente, entonces está inferiormente acotada. Al revés, si una sucesión es monótona decreciente, entonces está superiormente acotada. ¿Qué significa gráficamente este hecho?
  3. Demostrar el hecho de que una sucesión monótona creciente, o bien está acotada superiormente o bien tiene límite $+\infty$. Al revés, si una sucesión es monótona decreciente, o bien está acotada inferiormente o bien tiene límite $-\infty$. Describe gráficamente estos hechos.
  4. Justifica si son verdaderos o falsos estos dos hechos:
    1. Una sucesión de términos positivos, o bien tiene límite $+\infty$ o bien tiene límite 0.
    2. Una sucesión acotada siempre es convergente.
  5. Demostrar que si una sucesión es convergente (tiene límite no infinito), entonces es una sucesión acotada.
  6. Justificar el hecho de que si una sucesión es monótona y acotada, entonces debe tener límite.

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