Decimos que una sucesión $a_n$ tiene límite cero, y lo escribimos...si para cualquier intervalo centrado en el origen $(-r,r)$ podemos encontrar un término $a_p$ a partir del cual, todos los términos de la sucesión están dentro de él, es decir:
$|a_n|<r$ para todos los términos $a_n$ tales que $n\geq p$
Ahora nos toca practica esta definición:
Consolida la definición de límite cero
Considera la sucesión $a_n=\frac{7}{n+2}$.
Determina su límite.
¿A partir de qué término todos los términos de $a_n$ están en un entorno centrado en el 0 y de radio 0.00001?
Dado un intervalo centrado en el 0 de radioi $r$, ¿cómo calculamos el término a partir del cuál todos los demás términos están en dicho intervalo?
Considera la sucesión $a_n=(-1)^n\frac{1}{n+1}$.
A partir de qué término todos los términos de la sucesión están en un entorno centrado en el 0 y de radio $r=0.023$?
Idem para un entorno centrado en el cero de radio arbitrario $r$.
Calcula el límite de las sucesiones $a_n=\frac{-2}{3n}$, $b_n=\frac{1}{n-1000}$, $c_m=0.5^m$.
Justifica por qué las siguientes sucesiones tienen límite cero: $a_n=(-1)^n\frac{5}{12n}$, $b_m=\frac{-3}{m}$, $c_n=\frac{116^{12}}{n^2}$.
Dadas las sucesiones $a_n=\frac{n^2+1}{n^3}$, $b_n=-e^{-n}$ y $c_n=\sin\left(\frac{1}{n}\right)$:
Intenta conjeturar el valor de cada uno de sus límites. Para ello puedes realizar una tabla de valores, una representación gráfica, utilizar propiedades de las funciones que aparecen en el término general...
Justifica que el límite de la sucesión es el valor conjeturado. Puedes utilizar el criterio de comparación (sandwich) para $a_n$ y $c_n$ si lo crees necesario.
Un caso práctico
Observa la siguiente composición:
En ella se ve una imagen que se contiene a sí misma de una forma recursiva. La altura de la cada imagen es un 40% la de la anterior.
Si la primera imagen mide h cm, determina el término general $a_n$ de la sucesión de alturas de las distintas imágenes.
En realidad, las imágenes digitales son enormes mallas de pequeños puntos de color llamados píxeles. Estos átomos determinan las dimensiones de la imagen. En nuestro caso, la composición está hecha a partir de esta imagen del banco de imágenes del proyecto extremeño CREA.
Inspecciona las propiedades de la imagen. ¿Qué dimensiones (en píxeles) tiene?
Supón, como indicamos antes, que las dimensiones en píxeles de cada imagen son un 40% las de la anterior. ¿Cuántas imágenes encadenadas podremos llegar a ver en total al realizar esta construcción? Ten en cuenta que ninguna imagen puede tener de largo o de ancho menos de 1 pixel.
El montaje de la imagen auto-recursiva es muy sencillo utilizando GeoGebra. No necesitas más que insertar una imagen, dibujar un punto (que será el centro de las homotecias) y un deslizador (que será la razón de las homotecias). con esos elementos, no tienes más que repetir una serie de homotecias para encadenar la imagen dentro de sí misma. En este vídeo te cuento paso a paso cómo hacerlo:
En realidad la imagen de la niña sosteniendo un lienzo en blanco está diseñada para poder realizar un montaje mucho más interesante y potente desde un punto de vista visual: un efecto de zoom infinito. Aquí puedes ver el resultado:
Es obra de Javier Cayetano. Él mismo te explica en esta página como realizar esta construcción utilizando, como no, GeoGebra. Como puedes leer, necesitas una o varias imágenes con una amplia zona en blanco (que será donde se reproduzca la cascada de imágenes).
¿Te animas a buscar unas imágenes apropiadas y a realizar un efecto parecido?